Integrales

Ejercicios Integrales

Histogramas Cp y Cpk

Gráfico Tipo U

Gráfico De Control Tipo C

Gráfico de Control

Gráfico de Dispercion

Checklist y Estratificacion

Checklist

Estratificacion

Estratificacion Jerarquica

Puntos Notables

La siguiente figura es un plano de un área recreativa que se está construyendo, tiene la forma de un cuadrado de área igual a 1600 metros; el semicírculo de la derecha está destinado a una alberca y las restantes aras a juegos mecánicos y mesas con sillas para los visitantes, los límites del área verde son la alberca, una diagonal del cuadrado y un curto de circulo determinaremos la cantidad de pasto en rollo que se debe comprar para dicha área verde

Para esto primero debemos sacar el área del cuarto de circulo cuya ecuación seria pi por radio al cuadrado, nuestro radio es de 40cm por lo tanto el resultado es 5026.54 esa sería el área del circulo completo, pero nosotros solo queremos saber e área del circo sombreada entonces lo dividiremos entre ocho los que nos da a 628.31 esa es el área del circulo sombreado.

Ahora obtendremos el área del semicírculo, su radio es igual a la mitad el cuadro, entonces el radio del semicírculo es de 20cm, ahora que tenemos el radio obtendremos el área que es igual 1256.63, pero solo necesitamos la mitad el circulo, asi que lo dividiremos entre dos dándonos como resultado 628.31.

Ahora le restaremos el área del triángulo dentro del semicírculo, el área del triángulo es igual a 400, le restaremos el área del semicírculo, 628.31-400=228.31, eso sería el sobrante del semicírculo (los arcos que quedan fuera de triangulo), ahora lo dividiremos entre dos para sacar el área de un solo arco, lo que nos da 114.15, ese es el área de uno de los arcos, solo queda restar el área del círculo sombreada menos el área del arco 628.31-114.15 el resultado es 514.16 ese seria el área sombreada

Para la siguiente figura deberemos obtener el área del cuadro grande

Área del cuadro chico = 9cm

Primero obtendremos el área del circulo área es igual a pi por radio al cuadrado, ya que el área del cuadro chico es 9cm por lo tanto sus lados son de 3 cm, entonces podemos utilizar el teorema de Pitágoras que  establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos por lo tanto el radio del circulo equivale a 2.1213cm, el área del circulo es 14.1368958 por lo tanto sus lados miden 4.2426 entonces el área es 17.9996548

En la siguiente figura obtendremos el área de las partes sombreadas

Para eso trazamos unas líneas re referencia que formen un cuadrado, el radio de los círculos es de 20 cm por lo tanto podemos decir que los lados del cuadro son de 40 Cm su área es de 1600 cm, debemos obtener el área de los círculos utilizamos la ecuación ya mencionada y el resultado es 1256.63 y como son dos semicírculos la no la dividiremos ya que juntas forman un circulo completo, seria 1600-1253.63, el área total sombreada es de 343.37

Ensayo El Rectángulo Dorado

Este tema tratara sobre el rectángulo de oro y su creencia de que estees armonioso ya que se utiliza más comúnmente en el arte, porque es considerado bello o agradable a la vista

La sección aurea nace en Roma en el que también se le es conocida como sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon áureo, regla de oro o número de oro . En sí la sección aurea es un equilibrio completo, representa un significativo número puesto que es un intento por encontrar la explicación matemática a la belleza con el fin de encontrar la cifra ideal. La sección áurea también se entiende que es la proporción o un equilibrio que ocurre entre dos segmentos de una recta al dividir ésta medida y extrema razón

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo.  El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo.

Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.

El rectángulo de Euclides

Se trata de una de las demostraciones más conocidas desde la antigüedad. El rectángulo cuyos vértices se definen por los puntos AEFD se define como áureo debido a que sus lados mayores AE y su lado corto AD presentan la proporción del número áureo. El matemático griego Euclides, en su proposición 2.11 de la obra Los Elementos obtiene su construcción. Siendo el triángulo GBC Pitagórico, se tiene que GC (la hipotenusa) tiene como valor:

Con centro en G, prolongando hasta la recta AE, se obtiene por intersección el punto E, y por lo tanto:

con todo ello se puede ver que resulta evidente que los lados:

de donde, finalmente:

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

El rectángulo áureo fue calificado por los griegos de la clásica Hélade como una de las figuras geométricas más bellamente estructuradas. Por un largo lapso de siglos, los arquitectos utilizaron este cuadrilátero de noble proporción para la planeación de templos, rascacielos y edificaciones de diversa índole. Los compatriotas de Sócrates construyeron el Partenón de Atenas en el siglo V a.C. El rectángulo que encierra la fachada delantera es un rectángulo áureo.

El origen exacto del término sección áurea es bastante incierto. Generalmente se sitúa en Alemania, en la primera mitad del S. XIX. Muchos han sido los artistas, humanistas y matemáticos que lo han tratado, aunque bajo distinto sobrenombre y con distinta disposición. Otros nombres que recibe son sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon áureo, regla de oro o número de oro. Sección áurea es simplemente una proporción concreta. Esta proporción ha desempeñado un importante papel en los intentos de encontrar una explicación matemática a la belleza, de reducir ésta a un número, de encontrar “ la cifra ideal ".  De esta proporción se hablaba ya desde muy antiguo, los egipcios la descubrieron buscando medidas que les permitieran dividir la tierra de forma exacta. De Egipto pasó a Grecia y de allí a Roma. Pitágoras (569 a.C.) escogió como símbolo para su Escuela la estrella pentagonal, figura geométrica que muestra en todas sus relaciones la sección áurea y se cree que a partir de esta figura llegaron a la noción de inconmensurabilidad y al conocimiento de los números inconmensurables, tales como el que ahora nos ocupa. Platón (428-347 a.C.) hace referencia a ella en el Timeo y dice “es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una ligazón entre ellas que las ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo...”. Euclides (450-380 a. C.), matemático griego, en su obra principal Elementos, extenso tratado de matemáticas sobre geometría plana, proporciones, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio, nos revela la primera fuente documental importante sobre esta sección, su cálculo y trazado geométrico. Más tarde, Vitruvio, arquitecto romano, vuelve a tratarla en sus Diez libros de arquitectura.

El rectángulo áureo en la antigüedad

Si traducimos la proporción áurea en formas geométricas, observaremos que describe mágicamente muchas de las pautas que vemos en la naturaleza. Los arquitectos la utilizaban para crear edificios de excelente simetría.

Podemos ver como se expresa Fi en las pirámides de Egipto, el Partenón de Atenas y las catedrales góticas europeas; podemos percibir cómo los artistas y artesanos de todas las épocas la utilizan, y podemos verla como descripción perfecta de los principios del crecimiento y el dinamismo en la naturaleza.

El hecho de que los griegos y posteriormente artistas de todas las épocas hayan adoptado esta proporción como modelo de armonía y de belleza, ya sería motivo suficiente para tratar este número tan extraño con respeto.
Artistas y matemáticos como Lucca Pacioli, Leonardo Da Vinci o como Alberto Durero han designado a este número con nombre tan expresivos como sección áurea, razón áurea o divina proporción. Desde el Renacimiento, muchos pintores han utilizado en sus obras maestras dimensiones relacionadas con la razón áurea.

Los griegos ya lo conocían, está presente en muchas de sus
manifestaciones artísticas, sobre todo en sus templos y sus esculturas.

La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 A.C en la pirámide de Keops.

Erodeto, famoso historiador griego del siglo quinto antes de cristo cuenta que los sacerdotes egipcios le había mostrado el hecho de que las dimensiones de la pirámide eran tales que el cuadrado de la altura total era exactamente igual al área de una de las caras, este dato atribuible a un exceso de meticulosidad del arquitecto egipcio no es en sí una casualidad, pero analicemos las características geométricas que se deducen, y podemos descubrir con asombro que los egipcios hace tres mil años ya conocían y aplicaban el número áureo.

La espiral logarítmica de la concha del nautilo

Convirtamos ahora los números en cuadrados. Pongamos dos iguales, uno junto a otro, de cualquier tamaño, cuyos lados tomaremos como unidad. Encima de ellos, dibujemos otro cuyo lado sea el doble de los anteriores. A la derecha, añadamos otro más, con el triple de lado. Debajo, el correspondiente a 5, y así sucesivamente, de modo que cada nuevo cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores. Si ahora dibujamos un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado (empezando por el primero), como en la fotografía de la caracola del comienzo del reportaje, tendremos una espiral logarítmica que es, justamente, la que presenta la concha del nautilo.

Ahora coja un lápiz y trace una línea que vaya desde el centro al exterior.Fíjese en dos puntos en los que esta línea corte a la concha, con la única condición de que la espiral haya dado una vuelta completa entre ambos. Comprobará que el más exterior está 1,618 veces más lejos del centro que el del interior. Esto quiere decir que el factor de crecimiento de la concha es el número áureo. 

El mejor sistema de ordenación posible

¿Por qué este gusto de la naturaleza por la sucesión de Fibonacci? Hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo porque éste es el mejor sistema de empaquetamiento, aunque la planta crezca. Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz sin que unas se oculten a otras y, en el caso de las flores, la mejor exposición paras atraer a los insectos polinizadores. Los números de Fibonacci son la mejor aproximación que existe al número áureo. Visto todo esto, no resulta sorprendente que el Partenón pueda enmarcarse en un rectángulo áureo -aquél en el que el cociente de su longitud por su altura sale el número áureo-. Igual sucede con las tarjetas de crédito. ¿Acaso hay algo más bello que una Visa sin límite de gasto?

Ejemplos:

por ejemplo en el árbol familiar de cualquier zángano de un panal. Éste nace del huevo no fertilizado de la reina, luego tiene una madre, pero no tiene padre. Por el contrario, tanto la reina (la única que puede poner huevos) como las obreras nacen del huevo fertilizado por un macho. Tienen, por tanto, padre y madre. Teniendo esto en mente, el árbol familiar de un zángano queda como sigue: tiene 1 madre, 2 abuelos (macho y hembra), 3 bisabuelos (dos de la familia de la abuela y uno de la del abuelo), 5 tatarabuelos, 8 tataratatarabuelos...

Sección aurea en la naturaleza  

La lista de formas orgánicas en las que encontramos la sección áurea podría ser interminable (algo de esto hemos intuido en el desarrollo del trabajo: las proporciones del cuerpo humano, la forma espiral de la concha del nautilus, etc.), pero aquí me limitaré a exponer la relación de ésta con algunas especies vegetales.

Algunas flores tienen la particularidad de crecer siguiendo tramas impensables que nos hacen pensar en un "Dios geómetra", por ejemplo, los flósculos de la margarita, crecen en los puntos de contacto de dos conjuntos de espirales que se mueven en direcciones opuestas, una en el mismo sentido y otra en contrario al de las agujas del reloj. El centro del girasol también se compone de flósculos que crecen siguiendo espirales logarítmicas y equiangulares y que se mueven en direcciones opuestas. El patrón estructural de una flor de cardo comparte también esta forma espiral.

La cola del camaleón.

 Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro, sin un título en matemáticas superiores. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como el caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".

Arte Oriental

 Artesanía: En la artesanía oriental también podemos encontrar en las alfombras en los tejidos las proporciones áureas. Cerámica: En el oriente realizan jarrones con diseños de espirales están inspirados en la sección áurea, más que por cómo están pintado los jarrones es más bien su estructura  ,comienza con una boquilla y termina con una anchura a lo último de la base y es lo que se destaca entre los jarrones del Oriente y de los demás lugares. Escultura: Una de las esculturas más famoso del Oriente es el Buda puesto que demuestra cómo se le encuadra los rectángulos áureos uno dentro del otro. También hay otros tipos de arte como son el arte romano, el arte griego, el arte islámico, el arte gótico, el arte renacentista, el arte barroco, el arte del siglo XVIII, el arte del siglo XIX, el arte en el siglo XX, el arte en castilla-la mancha, y así podremos encontrar distintos tipos de artes y en que todas se relacionan con la proporción áurea.

ARQUITECTURA ANTIGUA GRECIA Y ROMA.

 A partir de aquí empieza a estudiarse la arquitectura a través de que empiezan a salir los primeros arquitectos y así los primeros libros arquitectónicos, Hola arquitecto que sobresale de todos es llamado el vitruvio en el que menciona tiene que la arquitectura depende del orden, de la disposición, la propiedad, la euritmia, y la simetría. Dando así esta última concordancia a las proporciones del conjunto.

ARQUITECTURA GÓTICA

El arte gótico occidental europeo está compuesta entre lo romántico y el renacimiento y esto es un arte que se le considera clásico.

 ARQUITECTURA EN LOS SIGLOS XIX-XX 

Dentro de estos años de 1852 nace un modernismo en el cual se encuentra Anthony Gaudí en el que es el iniciador y máximo representante del mismo en Cataluña su obra que fue muy reconocida fue la sagrada familia de Barcelona, su obra era un templo en el cual en su interior tenía una escalera haciendo semejanza a una concha del nautilus.

LE CORBUSIER

Este personaje fue muy fundamental para la arquitectura pues consideró la naturaleza como encarnación de todo lo verdadero, bello sano y original todo esto lo llevó a cabo a lo largo de su vida pues giraba entorno en dos conceptos naturaleza y geometría, estas dos partes le dieron una creencia deliciosa en la naturaleza. Este personaje realiza una serie de investigaciones y es como elabora un sistema de medidas y proporciones cuya validez sería independiente de las diferentes convenciones en uso y que sin esfuerzo podiatra trasladarse del sistema métrico a medidas anglosajonas, este sistema lo llamó modulador. El modulador propone un denominador común de las dimensiones del hombre y de la geometría elemental es decir un hombre de pie, con el brazo alzado y el ombligo situado justo en medio,se haya inscrito en dos rectángulos de 1.13m de altura, y sumando los dos rectángulos da un resultado de 2. 26 m y esto es la dimensión básica de una habitación

La Razón Áurea

La proporción áurea se basa en una medida o número llamado también áureo, de oro, y representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula). Es una proporción de más o menos: 2 + 1,6 , es decir, que una medida a=2 más otra medida b=1,618…. forman una medida que sumaría c= 3,618…. Aunque esta es la forma que yo me he inventado para acabar de comprender rápidamente esta proporción y para detectar que en una composición si que existe esta proporción áurea entre unas medidas a, b y c. Y que, por lo tanto, tienen este equilibrio mágico donde una medida contiene a otra más un poquito extra.

Esta proporción también se utilizo en el arte ya que les parecía que le daba belleza a su obra, un ejemplo es el Hombre Virtubiano de Leonardo Da Vinci. Muchos artistas intentaron ilustrar en un mismo dibujolas tres formas: la humana, cuadrada y circular. 

Leonardo dio una solución original y mucho mas elegante descentrando el cuadrado y circunferencia. El pubis es el  centro del cuadrado, y el ombligo el de la circunferencia. Es sencillo comprobar que su radio es la sección áurea de la altura del cuadrado.